大学数学(高数线代)直观理解(一)

日前看到有个初中数学问题推到了我的Timeline上,问:系数为啥叫系数?

我脑洞炸裂灵感迭起,心情如电火花一般激灵四射,又为见到这么古老的问题痛哭流涕——想我有多久没有问过这种问题了,从小到大,问出来也得不到满意的解答吧。

那么现在我就从回答这个问题开始,谈谈直观理解《高等数学》《微积分》的相关知识。但必须提的是,直观是不严谨的,千万不要看了这篇文章后脑洞大开搞出什么数学民科来,那可就糟了。

系数,你可以认为这里是“万千变化系于一数”的用法。一个函数就是一个变化,这个变化系于此数,简称系数。又可以说,一个函数是一个对应关系,关系数,简称系数。

其实能问出“系数为什么叫系数”的人肯定也能问出“函数为什么叫函数”。后面这个问题其实更了不起,因为可以引出“泛函”的概念来,也许以后我会试着仔细写写这个。

1

y=2x,你告诉我,这个函数的变化快慢是由什么决定的?

没错,2.

大学数学(高数线代)直观理解(一)呢?这里有两个x,每个x的变化的快慢都是由对方决定的,第一个x的变化快慢是x倍,第二个x的变化快慢是x倍,一共是?

2x倍。

 

大学数学(高数线代)直观理解(一)呢?这里有三个x,每个x的变化快慢都是,所以总变化快慢是?

嗯…….大学数学(高数线代)直观理解(一)

于是我们推出来两个规律:

大学数学(高数线代)直观理解(一)

 

大学数学(高数线代)直观理解(一)的变化率就是它自己,要理解的话得花大篇幅解释e这个东西,在这里就不提了,反正记下来也挺简单的。

至于三角函数的变化率,你画个单位圆看看就能明白为什么sin的变化率就是cos,cos的变化率是-sin。如果不记得单位圆定义的……跳过。

2

有的时候我们会需要这样的情况:大学数学(高数线代)直观理解(一),现在我问你,这个函数里,x的变化快慢被什么决定?

你很快可以得到答案,第一项有3个x,每个x的变化都是大学数学(高数线代)直观理解(一),第二项里有两个x,每个x的变化都是2xy,所以总变化是大学数学(高数线代)直观理解(一),同样的,我们其实也可以问,在这个函数里,y的变化快慢被什么决定?显然是大学数学(高数线代)直观理解(一)。然后函数总的变化快慢是多少呢?

大学数学(高数线代)直观理解(一)

写到这里莫名其妙就得出了偏导数和全微分公式。用大学数学(高数线代)直观理解(一)表示x的偏导数(变化率),大学数学(高数线代)直观理解(一)表示y的偏导数(变化率),在大学数学(高数线代)直观理解(一)处的全微分公式写做大学数学(高数线代)直观理解(一)。就是说这个函数的增量等于x的增量加y的增量。好吧,一个知识点就这么完了,是不是有种感觉什么也没说的感觉?没错你相信我,真的就只是造出了几个术语,搞出了几个符号,内容就是我们说的那样,那么的……废话。其实我一直不喜欢这种写法,但我没有发明符号的闲心了,就姑且这么用,反正听他们那些前辈说用多了还觉得挺美。

3

有的时候我们常常做这么一件事。那就是,一个量根据一个法则在变化, 从某处到某处这个量变了多少。

比如f(x)从a到b一直在连续变化,问从a到b一共变化了多少?

你也许会说,这不是废话么,用f(b)-f(a)不就求出来了吗?

那么恭喜你,你以一人之力,发明了牛顿莱布尼兹公式。

牛顿莱布尼兹公式是怎么说的?它说从a到b每一处的变化累积起来,就是f(b)-f(a)。

大学数学(高数线代)直观理解(一)

那由此还可以想到什么“废话”吗?

当然还可以,这种废话简直无穷无尽,比如。

u的变化使得v变化的量,加上v的变化使得u变化的量,不就是变化的u和v彼此使得对方变化的总量吗?很自然的有大学数学(高数线代)直观理解(一)

我推出这个公式后的第二天,老师教了我们分部积分法。

我:……

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至于无穷小量,极限,微元这些,我是不太想在文章里提的。一来我没有能力换一种完全不同的方式等价地表达出来,总觉得有这样那样的问题。二来我如果按书上的在这里写一遍,那我这篇文章还不如不写。那么问题来了,如果不谈极限,我们怎么讨论极限的相关知识?

伯努利说,对对对,你不讲极限,怎么跟别人讲我的法则?

这个法则现在我们叫洛必达法则,充分说明我们如果足够重视每一句废话,在严谨地证明后早早发表,很可能就能冠名一个东西。单单从直觉上来说,洛必达法则是在反着说这么一件事情,两个量从0开始变化的那一瞬间,速度的比例是多大,那么变化的比例就是多大。如果他们变得无穷大,亦同。我们对照着看一下:

如果大学数学(高数线代)直观理解(一),在点a的某去心邻域内两者都可导,且大学数学(高数线代)直观理解(一)存在,那么有大学数学(高数线代)直观理解(一)

翻译:如果两个变化在某处都趋向于0了,而这个时候他们是光滑地变化着(不是突兀地变化),那么在最后到0的前一瞬间,它们的比例就是他们速度的比例。

这种描述其实很原始,有点像牛顿时代的描述。从这个例子其实可以看出,极限的提出还是很重要的。

5

说起变化,我不由得就想起了我们小时候经常会思考的一个问题。

如果我们知道某一点的变化率,知道这一点变化率的变化率,又知道这一点变化率的变化率的变化率……那我们是否可以知道这个点经过一段时间后变到了多少?

换个表达,假设我们要知道x时的情况,但我们只知道时候的,然后我们还知道时候的变化,变化的变化……直到任意阶变化我们都知道,那么x的情况我们有理由不知道吗?

试试看好了,首先,已经有了大学数学(高数线代)直观理解(一),这一点的变化率是f'(x0),到x一共是变化了大学数学(高数线代)直观理解(一),然而,f'(x)并不总是f'(x0),它是在变的,在处变化率是f(x0)”,这个变化率使得f(x0)’一共变化了大学数学(高数线代)直观理解(一),同样,f(x0)”也是变化的,f(x0)”一共变化了大学数学(高数线代)直观理解(一)。总的来说会写出这样的式子:

大学数学(高数线代)直观理解(一)

算一下,大学数学(高数线代)直观理解(一)

大学数学(高数线代)直观理解(一)

……

这不就是泰勒公式么!

这个东西在写这篇文章的时候写着写着就写出来了,我看了看应该是没错,有错请尽快告知……这种写法你可以理解为泰勒公式的另一种形式。其实自己能推理出来的话,这个形式是很亲切而自然。


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